Як множити ступеня?

Як множити ступеня?
1 Кожна арифметична операція порою стає занадто громіздкою для запису і її намагаються спростити.

Колись так було і з операцією складання. Людям було необхідно проводити багаторазове однотипне додавання, наприклад, порахувати вартість ста перських килимів, вартість якого становить 3 золоті монети за кожен. Доводилося записувати 3 +3 +3 + +3 = 300.

Через громіздкість було придумано скоротити запис до 3 * 100 = 300. Фактично, запис три помножити на сто означає, що потрібно взяти сто трійок і скласти між собою. Множення прижилося, знайшло спільну популярність. Але світ не стоїть на місці, і в середніх століттях виникла необхідність проводити багаторазове однотипне множення. Пригадується стара індійська загадка про мудреця, попросивши в нагороду за виконану роботу пшеничні зерна в такій кількості: за першу клітину шахової дошки він просив одне зерно, за другу два, третій чотири, п’ятий вісім і так далі.

Так з’явилося перше множення ступенів, адже кількість зерен дорівнювало двійці в ступені номера клітини. Приміром, на останній клітці було б 2 * 2 * 2 ** 2 = 2 ^ 63 зерен, що дорівнює числу довжиною в 18 знаків, в чому, власне, і криється сенс загадки.

2 Операція зведення в ступінь прижилася досить швидко, також швидко виникла необхідність проводити додавання, віднімання, ділення і множення ступенів. Останнє і варто розглянути більш докладно. Формули для складання ступенів прості і легко запам’ятовуються. До того ж, дуже легко зрозуміти, звідки вони беруться, якщо операцію міри замінити множенням. Але спочатку слід розібратися в елементарній термінології.

Вираз a ^ b (читається а в ступені b) означає, що число a слід помножити само на себе b раз, причому a називається підставою ступеня, а b — статечним показником. Якщо підстави ступенів однакові, то формули виводяться зовсім просто.

Конкретний приклад: знайти значення виразу 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Щоб знати, що повинне вийти, слід перед початком вирішення дізнатися відповідь на комп’ютері. Забивши даний вираз в будь онлайн-калькулятор, пошуковик, набравши »множення ступенів з різними основаніяміі однаковими» або математичний пакет, на виході вийде 128. Тепер розпишемо даний вираз: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2, а 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2.

Виходить, що 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 +4). Виходить, що твір ступенів з однаковим підставою одно основи, зведеному в ступінь, рівну сумі двох попередніх ступенів. 3 Можна подумати, що це випадковість, але немає: будь-який інший приклад зможе лише підтвердити дане правило. Таким чином, у загальному вигляді формула виглядає наступним чином: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m).

Також існує правило, що будь-яке число в нульової ступеня дорівнює одиниці. Тут слід згадати правило негативних ступенів: a ^ (-n) = 1 / a ^ n.

Тобто, якщо 2 ^ 3 = 8, то 2 ^ (-3) = 1/8. Використовуючи це правило можна довести справедливість рівності a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (-n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) можна скоротити і залишається одиниця.

Звідси виводиться і те правило, що приватне ступенів з підставами одно цього підставі в ступені, рівний приватному показника діленого і дільника: a ^ n: a ^ m = a ^ (nm). Приклад: спростити вираз 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (-7) * 2 ^ 0: 2 ^ (-2). Множення є комутативної операцією, отже спочатку слід провести додавання показників множення: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (-7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 +5-7 +0) = 2 ^ 1 = 2. Далі слід розібратися з розподілом на негативну ступінь.

Необхідно відняти показник дільника з показника діленого: 2 ^ 1: 2 ^ (-2) = 2 ^ (1 — (-2)) = 2 ^ (1 +2) = 2 ^ 3 = 8. Виявляється, операція ділення на негативну ступінь тотожна операції множення на аналогічний позитивний показник. Таким чином, остаточна відповідь дорівнює 8. 4 Існують приклади, де має місце не канонічне множення ступенів. Перемножити ступеня з різними підставами дуже часто буває набагато складніше, а часом і взагалі неможливо. Слід навести кілька прикладів різних можливих прийомів.

Приклад: спростити вираз 3 ^ 7 * 9 ^ (-2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (-2) * 729. Очевидно, має місце множення ступенів з різними підставами.

Але, слід зазначити, що всі підстави є різними ступенями трійки. 9 = 3 ^ 2, 1 = 3 ^ 4, 3 = 3 ^ 5, 9 = 3 ^ 6. Використовуючи правило (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), слід переписати вираз в більш зручному вигляді: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (-2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (-2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (-4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (-10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7-4 +12 -10 +6) = 3 ^ (11). Відповідь: 3 ^ 11.

У випадках, коли різні підстави, на рівні показники працює правило a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n. Наприклад, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. В іншому, коли різні підстави і показники, зробити повне множення можна. Іноді можна частково спростити або вдатися до допомоги обчислювальної техніки.

Як множити ступеня?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Добавить комментарий